Mediatriz
La mediatriz de un triángulo es la mediatriz asociada a uno de sus lados, es decir, la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.
La mediatriz de un segmento es una recta, lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.
Existen tres mediatricesen un triángulo (Ma, Mb y Mc), según el lado del triángulo al que se refieren (a, b o c).
Circuncentro y circunferencia circunscrita
Las tres mediatrices de un triángulo confluyen en un punto llamado circuncentro.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se halla mediante la fórmula:
La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:
¿Cómo dibujar las mediatrices de un triángulo?
Las mediatrices de un triángulo pueden dibujarse fácilmente con regla y compás.
Para empezar, veamos como se dibuja la mediatriz de un segmento. Ésta es la recta (M) cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento (X, Y). Con el compás con centro en X, trazamos un arco mayor a la mitad del segmento. Desde el punto Y procedemos de igual modo trazando un arco de igual radio.
Trazamos la mediatriz (M) del segmento (S), uniendo los puntos P y Q.
Para trazar las mediatrices (Ma, Mb y Mc) de un tiángulo, procedemos de igual modo en los tres lados de éste.
Mediana
La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del costado opuesto.
Hay tres medianas (ma, mb y mc), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:
Baricentro o centro de gravedad
Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).
En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.
En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.
Ejemplo
Sea un triángulo de costados conocidos, siendo estos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm.
¿Cuales son sus medianas ma, mb y mc?
Mediante la fórmula anterior se obtiene que las medianas son ma=3,39 cm, mb=1,58 cm y mc=2,78 cm.
Altura
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:
Ortocentro
Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).
Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.
Altura del triángulo equilátero
La altura (h) del triángulo equilátero se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, a/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los costados a/2 y hson los catetos y a la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
Y obtenemos que la altura (h) del triángulo equilátero es:
Otro procedimiento para calcular su altura sería a partir de las razones trigonométricas.
Respecto al ángulo de 60º, la razón entre la altura h y la hipotenusa del triánguloa es igual al seno de 60º. Por tanto:
Altura del triángulo isósceles
La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los costados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras:
Y se obtiene que la altura h es:
En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.
Altura del triángulo rectángulo
Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto. Por lo tanto, ha=b y hb=a.
Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.
La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.
Ejemplo
Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=4.5 cm.
¿Cuales son sus alturas ha, hb y hc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).
Obtenemos que el semiperímetro es s=5,75 cm. Ahora podemos calcular las tres alturas
Y las tres alturas serán ha=3,92 cm, hb=2,94 cm y hc=2,61 cm.
Bisectriz
La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.
Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Circunferencia inscrita
En geometría, la Circunferencia inscrita o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro del triángulo.
El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:
La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:
Ejemplo
Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm.
¿Cuales son sus bisectrices Ba, Bb y Bc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).
Obtenemos que el semiperímetro es s=4,5 cm. Ahora podemos calcular las tres bisectrices:
Y las tres bisectrices serán Ba=2,45 cm, Bb=1,47 cm y Bc=3,32 cm.
Renta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario